Kurt Gödel und die Wahrheit

Über menschliche Erkenntnisfähigkeit

Mit Wahrheiten ist das so eine Sache. Meist sind sie bitter. Sie nehmen keine Rücksicht auf menschliche Eitelkeiten. Deshalb will man sie oft nicht wahrhaben, man verdrängt sie oder verschweigt sie. Lieber lebt man mit der Lüge. Das gilt im Kleinen wie im Großen und vor allem dann, wenn Paradigmen, ja ganze Weltbilder einstürzen. So auch im Fall von Kurt Gödel.

Ich stieß das erste Mal als Student auf den Namen Kurt Gödel. Ich glaube, es ging damals um den Wahrheitsbegriff und um das Paradoxon des Epimenides. Anhand dieses einfachen Beispiels war mir klar geworden, was Gödel in der Sache gemeint hatte. Mir fiel dazu ein Spruch ein, den wir in der Schule aus Quatsch auf Tische und Bänke gekritzelt hatten, nämlich der Satz:

Wer das liest ist doof!

Der Satz des Epimenides ist natürlich noch viel raffinierter. Er lautet:

Alle Kreter sind Lügner.

Wenn man nun den Wahrheitsgehalt dieses Satzes prüfen will, passiert folgendes: Angenommen, der Satz wäre wahr, also alle Kreter sind Lügner, dann ist seine Aus­sage falsch, denn Epimenides ist selbst Kreter, folglich lügt er. Und angenommen, der Satz wäre unwahr, also alle Kreter sind keine Lügner, dann lügt Epimenides mit seiner Aussage, alle Kreter seien Lügner. Wie man es auch dreht und wendet, Epimenides lügt in jedem Fall. Vorausgesetzt natürlich, ein Lügner lügt immer. Die Wahrheit oder Falschheit des Satzes lässt sich daher nicht beweisen. Jeden­falls nicht von einem Kreter. Nichts anderes hat Gödel mit seinem Unvoll­ständigkeitssatz logisch-mathematisch bewiesen. Er besagt, dass die Wider­spruchs­freiheit eines Systems selbst zu jenen Aussagen gehört, die innerhalb dieses Sys­tems unbe­weis­bar sind. Oder anders:

Ein System kann nicht zum Beweis seiner eigenen Widerspruchsfreiheit herange­zogen werden.

Gödels Leistung besteht also darin, die Aussage, die Mathematik sei widerspruchs­frei, in einer mathematischen Formel auszudrücken und gleichzeitig zu beweisen, dass diese Formel nur unter einer Bedingung ein Satz ist – also wahr ist –, nämlich dann, wenn die Mathematik in sich widerspruchsvoll und damit unvollständig ist. Das heißt, Gödels Beweis beruht im Grunde auf einem selbstbezüglichen mathe­matischen Satz, der in Anlehnung an den Satz des Epimenides eine selbstbe­züg­liche Aussage hat. Allerdings ist es sehr viel einfacher, in der Sprache über die Sprache zu reden, als mit Zahlen über eine Zahlenaussage. Dazu bedurfte es schon eines Genies, um allein die Idee der selbstbezüglichen Aussage mit der Zahlen­theorie in Verbindung zu bringen. In Anlehnung an die Aussagenlogik sei hier nur der Kern seiner Idee skizziert.

Zunächst muss man wissen, dass es bei mathematischen Aussagen der Zahlen­theo­rie, also der Theoria Numerorum Typographica um Eigen­schaften ganzer Zahlen geht. Wobei eine Aussage der Zahlentheorie nichts über eine Aussage der Zahlentheorie aussagt; sie ist bloß eine Aussage der Zahlentheorie. Das ist das Problem. Aber Gödel erkannte, dass eine zahlentheoretische Aussage durchaus etwas über sich selbst aussagen kann, wenn man nur irgendwie bewirken könnte, dass Zahlen Aussagen repräsentieren. Deshalb ließ sich Gödel einen Code einfallen, in dem die Zahlen für Symbole und Symbolfolgen stehen. Diese sogenannte Gödel-Numerierung ordnet jeder Aussage der Zahlentheorie eine Art Autonummer zu. Dieser Kunstgriff ermöglicht es, dass man zahlen­theoretische Sätze auf zwei ver­schiedenen Ebenen verstehen kann: zum einen als zahlentheoretische Aussage, und zum anderen als Aussage über zahlentheoretische Aussagen. Nachdem nun Gödel dieses Codierungs­schema gefunden hatte, übertrug er die Paradoxie des Epimenides ins zahlentheoretische System. Unterm Strich kam dabei heraus:

Zu jeder -widerspruchsfreien rekursiven Klasse K von Formeln gibt es rekursive Klassenzeichen r, sodass weder vGen r noch Neg (vGen r) zu Flg (K) gehört (wobei v die freie Variable aus r ist).

Damit stand fest, dass das System der Principia Mathematica unvollständig ist. Nur im Unterschied zum Satz des Epimenides, dessen Aussage ja weder falsch noch richtig ist, ist der Gödel-Satz unbeweisbar, aber wahr. Diese Tatsache schlug ein wie ein Blitz aus heiterem Himmel, war man doch bis 1931 davon ausgegangen, die Mathematik sei ganz einfach nur ein Teil der Logik und umgekehrt. Es war der Traum vieler Mathematiker – insbesondere der von David Hilbert –, eines Tages sowohl die Widerspruchsfreiheit als auch die Vollständigkeit des gesamten mathematischen Systems beweisen zu können. Dann hätte sich jeder wahre Satz der Zahlentheorie innerhalb der Principia Mathematica ableiten lassen. Dieser Traum war nun ein für alle Mal ausgeträumt. Schlimmer noch: Gödels Beweis gilt sogar für jedes verwandte, also axiomatische System. Kurz, Gödel zeigte, dass Beweisbarkeit ein noch viel schwächerer Begriff ist als Wahrheit. (Und selbst der Wahrheitsbegriff lässt sich formal nicht definieren, was Alfred Tarski wenig später bewies.)

Die Konsequenz dessen ist immens. So immens, dass sie an den Grundfesten der Wissenschaft rüttelt, ja überhaupt an der Wahrhaftigkeit menschlicher Erkenntnisfähigkeit. Als sich Gödel kurz nach Bekanntwerden seines Satzes mit dem berühmten Mathematiker Ernst Zermelo traf, der sich mit Axiomen und Zahlentheorie befasste, meinte der, er hätte ebenfalls Gödels Ergebnisse gefunden, sie jedoch nicht veröffentlicht. Mit Gödels Übertragung der Antinomie des Lügners auf die Zahlentheorie brach gewissermaßen eine Welt zusammen. So verwundert es nicht, dass Gödel von Kollegen und Zeitgenossen abgelehnt wurde. Zum Ende des 20. Jahrhunderts war er so gut wie vergessen.

Erst durch Douglas Hofstadters Buch Gödel, Escher, Bach – Ein endlos geflochtenes Band erlebte Gödel eine Renaissance. Aber kaum einer weiß, dass er sehr eng mit Einstein befreundet war. Beide emigrierten nach 1933 in die USA und trafen sich in den vierziger Jahren in Princeton, am Institute of Advanced Study. Sie unternahmen oft stundenlange Spaziergänge und sprachen dabei über physikalische und mathematische Themen. Zu Einsteins 70. Geburtstag soll ihm Gödel eine Formel geschenkt haben, nach der Zeitreisen in die Vergangenheit möglich wären. Einstein war schockiert und ließ sie in der hintersten Ecke seiner Schreibtischschublade verschwinden. Diese Glosse ist bemerkenswert, weil sie unverblümt zeigt, dass selbst das unorthodoxe Genie Einstein für das Genie Gödel noch zu orthodox war. Und während Einstein schon zu Lebzeiten im Ruhme schwelgte, starb Gödel im Elend. Die letzten Jahre musste ihm seine Frau, die einstige Nachtclubtänzerin Adele Porkert, immer das Essen vorkosten, weil er unter dem Wahn litt, vergiftet zu werden. Er glaubte, auf der schwarzen Liste zu stehen, fühlte sich verstoßen und geriet immer mehr in eine extreme Selbstbezogenheit, die am Ende paranoide Züge annahm. Als Adele selber ins Krankenhaus musste, verhungerte er.

Der Fall Gödel zeigt auf tragische Weise, sozusagen symbolhaft, dass es aus der inneren Logik der Selbstbezüglichkeit kein Entrinnen gibt. Die Wahrheit findet sich eben nicht immer empirisch, durch Anschauung und Erfahrung, sondern manchmal auch gar nicht. Selbst wenn man einen Sachverhalt von einer höheren Ebene aus betrachtet, am Dilemma ändert das nichts. Solange der Mensch selber zum System gehört, kann er seine Bewusstseinsgrenzen nicht überwinden. Das könnte nur ein Deus-Ex-Machina, eine Maschine, die in der Lage wäre, das menschliche Bewusstsein zu transzendieren. Eine Utopie ist das mittlerweile nicht mehr, denn künstliche Intelligenz ist längst im Anmarsch. Eines Tages wird sie, so glaube ich, unweigerlich Goethes Zauberlehrling auf den Plan rufen, aber sie wird auch einen noch gar nicht absehbaren Erkenntnis­schub bewirken. Der Mensch wird in neue Dimensionen vorstoßen. Aber auch die werden nicht der Weisheit letzter Schluss sein. Denn Gödels Satz lässt uns erahnen, was die Welt in Wahrheit ist: etwas zutiefst Irrationales! Insofern ist Erleuchtung tatsächlich nichts anderes als die Überwindung des Dualismus, die Aufhebung der begrifflichen Aufspaltung der Welt in Kategorien. Sprache verdeutlicht das, weil jedes Wort eine begriffliche Kategorie repräsentiert. (Ein total deformierter Ball ist immer noch ein Ball, ein zerknülltes Blatt Papier immer noch ein Blatt.) Nicht anders verhält es sich mit unserer Wahrnehmung. Sie ist naturgemäß ein dualistisches Phänomen, weil wir, sobald wir ein Objekt wahrnehmen, einen Strich zwischen diesem Objekt und der übrigen Welt ziehen, das heißt, wir spalten die Welt künstlich in Teile.

Ob wir also jemals erkennen werden, was das Universum ist, bleibt fraglich. Und selbst wenn wir es durchschauen könnten, dann könnten wir es noch lange nicht beweisen. Trösten wir uns also vorerst damit, dass bestimmte Dinge keines Beweises bedürfen, so wie sich auch Liebe nicht beweisen lässt, und jeder Mensch, der je geliebt hat, weiß das. Und pfeift drauf – dank Gödel.

Weitere Texte und Leserkommentare in Peter Lemars Blog unter peterlemar.de

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